La paradoja de Monty Hall

La sorprendente paradoja matemática de Monty Hall.

sorprendente paradoja matemática de Monty Hall.Este problema está inspirado en un concurso de televisión llamado Let's Make a Deal y presentado por Monty Hall (de ahí el nombre de la paradoja).

El concurso se basaba en los siguiente:

Un concursante se sitúa frente a tres puertas cerradas.

Detrás de una de estas puertas hay un precioso carro, y detrás de las otras hay dos cabras (véase la imagen).

Evidentemente, el objetivo del concursante es adivinar en cuál de ellas está el carro escondido, sin tener ninguna pista disponible.

Imaginemos que nosotros somos el concursante en cuestión.

Como es lógico, este primer paso es puro azar, ya que no podemos adivinar de ninguna manera lo que hay detrás.

Sea como sea, debemos elegir qué puerta queremos escoger, basándonos únicamente en la intuición.

Una vez hayamos elegido, el presentador (que sabe lo que se esconde detrás de cada puerta) nos interrumpe y nos ofrece una ayuda un tanto extraña:

Abre una de las puertas que están ocupadas por cabras, por lo que nos descarta una opción.

De esta forma, al concursante se le presenta la siguiente situación:

De tres puertas, una de las ocupadas por una cabra está abierta y descartada, por lo que queda una ocupada por el carro y otra ocupada por la cabra restante.



Pero, como recordarán, antes de que el presentador descartara a una de las cabras, nosotros ya habíamos elegido una opción.

Ahora bien, después de ver esta acción por parte del presentador, se nos da la posibilidad de nuevo de cambiar nuestra elección:

¿Debemos mantener nuestra primera opinión o cambiamos a la otra puerta restante?

 ¿Hay alguna diferencia?

 ¿O da lo mismo que hagamos una cosa u otra?

Si os sirve como apoyo para resolver el problema, aquí tenéis un resumen del enunciado en unas pocas líneas, hecho por Craig F. Whitaker:

Supóngamos que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un carro, y detrás de las otras, cabras.

Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra.

Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

¿Has decidido ya qué es mejor?

Bien, seguramente la intuición os habrá sugerido a muchos que da lo mismo que cambiemos de posición o que mantengamos la inicial, seguramente esto no influirá en el resultado final...

Pero es un razonamiento completamente erróneo.

Lo cierto es que nuestra decisión sí influye (y mucho más de lo que parece), ya que ganar el carro es mucho más probable si cambiamos de puerta ¿Cómo podemos demostrarlo?

Basta con aplicar un poco de probabilidad.

Cuando en nuestra primera elección escogimos entre una de las tres puertas, la probabilidad de llegar al carro era de 1/3.

O, dicho de otra forma, tenías 2/3 de probabilidad de escoger una puerta en la que se escondiera una de las cabras.

Entonces, llega el presentador y abre una de las puertas en las que está encerrada una cabra.

Y aquí llega el problema: ¿Qué es lo primero que dicta nuestra intuición?

Seguramente nos dirá que ahora hay un 50% de probabilidad de que el carro se esconda en nuestra puerta y otro 50% de que se esconda en la que no hemos elegido, por lo que no importa nuestra decisión.

Sin embargo, este argumento está completamente equivocado.

Esto es así porque nuestra primera decisión influyó en la acción del presentador. Vamos a explicarlo de forma más sencilla con matemáticas:

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta del carro (1/3 de probabilidades), al cambiar nosotros de puerta en el segundo paso habremos perdido, ya que el presentador siempre elimina una cabra.

Es decir, al cambiar de puerta tras la acción del presentador tenemos una posibilidad de perder sobre tres.

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta de una cabra (2/3 de probabilidades), al cambiar nosotros de puerta en el segundo paso habremos ganado, ya que el presentador siempre elimina una cabra.

Es decir, al cambiar de puerta tras la acción del presentador tenemos dos posibilidades de ganar sobre tres.

¿Qué pasaría si en vez de cambiar de puerta nos quedamos con nuestra puerta original? Comprobémoslo de la misma forma que antes:

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta del carro (1/3 de probabilidades), al quedarnos en la misma puerta en el segundo paso habremos ganado, ya que el presentador siempre elimina una cabra. Es decir, al quedarnos en la misma puerta tras la acción del presentador tenemos una posibilidad de ganar sobre tres.

-- Si en nuestra primera elección escogemos la puerta de una cabra (2/3 de probabilidades), al quedarnos en la misma puerta en el segundo paso habremos perdido, ya que el presentador siempre elimina una cabra.

Es decir, al cambiar de puerta tras la acción del presentador tenemos dos posibilidades de perder sobre tres.

En resumen:

Si cambiamos de puerta tras la revelación del presentador, tendremos un 66% de posibilidades de ganar (2/3=0'66, es decir, 66%), mientras que si mantenemos nuestra puerta inicial sólo tendremos un 33% de posibilidades de ganar (1/3=0'33, es decir, 33%).

Esta diferencia es más que suficiente para determinar que lo mejor que podemos hacer cuando se nos ofrezca la posibilidad de cambiar es elegir la otra puerta.

Y, si las matemáticas no han sido suficientes y os habéis quedado con ganas de más demostraciones, hay un interesante juego que recrea el concurso y que os ayudará a ver cómo se cumple esta paradoja.

Probad y probad todas las veces que queráis, apuntad vuestros resultados si os parece bien, y verán cómo se cumple con una precisión pasmosa las matemáticas de este problema.

Con un giro radical en la temática y dejando atrás a la biología, en este nuevo apartado hablaré sobre matemáticas, pero de una forma diferente a la que lo suelo hacer en este blog: Con artículos en los que también pueden participar ustedes.

Como bien podréis adivinar por el título, la serie va a girar en torno a paradojas y contradicciones matemáticas. La mayoría de ellas surgen por un simple error a la hora de razonar y de aplicar la lógica, las cuales son resueltas con total facilidad cuando se aplican las matemáticas.

La intuición es una herramienta que falla muy a menudo, pero una lógica bien aplicada siempre acierta, como demostraremos con esta serie.

La estructura de los artículos en este apartado va a ser un poco especial:

 Quiero que, además de leer un artículo como hacéis siempre, podáis también pasar un rato activando las neuronas e intentando hallar por vosotros mismos el problema propuesto.

Para ello, los posts tendrán la siguiente forma:

-- Planteamiento del problema (es decir, cuándo surge, quién la plantea, en qué consiste...).

--Un pequeño espacio para que intentéis resolverlo.

--Resolución del problema.

De esta forma, no se desvelará ninguna pista al principio y podréis resolverla por vosotros mismos (¡como me entere de que alguno busca la solución en internet, queda expulsado del blog ;-) !), tomando el tiempo que creáis necesario para pensarlo.

Las matemáticas de estos artículos están al acceso de todos, son muy sencillas, y la mayoría de los problemas se resuelven con métodos bastante fáciles de probabilidad, estadística... etc.

Siempre he pensado que los blogs son un medio excelente para interactuar con los lectores, pero hasta ahora yo me había limitado a los artículos “normales”, en los que vuestro papel es simplemente el de leer y asimilar la información.

Sin embargo, con este método creo que se consigue una mayor participación por su parte y será más interesante de leer, ya que además estarán intentando completar el artículo antes de continuar

Esperemos que este método funcione y os resulte más entretenido, aunque al finalizar la serie vuelva a los artículos de siempre.

Por último, me gustaría señalar que la inspiración para iniciar esta serie fue la reciente lectura de “¡Ajá! Paradojas que hacen pensar”, del gran divulgador Martin Gardner, ese gran matemático que, por desgracia, falleció recientemente (sirva esta serie como mi homenaje personal).

Si a alguno le gusta esta serie y se queda con ganas de más cuando la termine, recomiendo encarecidamente la lectura de este entretenido libro (uno de los mejores de divulgación matemática que he leído últimamente).

El libro consta de varios apartados: Lógica, geometría, matemáticas... Todo ello acompañado de unas imágenes muy aclarativas y numerosas referencias a otros libros y autores, además de, por supuesto, una genial explicación de la paradoja.

Recorreremos paradojas de todo tipo: Desde las más sencillas hasta las más enrevesadas, desde las enunciadas por los filósofos de la Antigüedad hasta las enunciadas por científicos modernos, desde las que se resuelven aplicando la estadística hasta las que se resuelven mediante la geometría...

El objetivo es tener un conjunto variado de paradojas que se resuelvan de diferentes formas, para no acabar cayendo en lo repetitivo.

La primera paradoja la publicaré muy pronto, este artículo es sólo para explicar el funcionamiento de la serie y que no haya problemas a la hora de “interactuar” con ella.

Por supuesto, al igual que hago con todas las series, os doy total libertad para hacer recomendaciones sobre posibles paradojas que me haya saltado o que consideréis interesantes.

PD: Aprovecho para disculparme por la escasez de artículos estos últimos días, he estado un poco ocupado y no he tenido demasiado tiempo libre.

Espero que poco a poco vuelva a recuperar la regularidad de los meses anteriores. 

Fuente:Creative Commons Atribución-Compartir Igual

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